Косинус
Косинус угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике OAB OA и AB катеты, OB – гипотенуза.Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению
Обозначения: cos, cos α, cos x
Косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета OA к гипотенузе OB.
Обозначения: cos, cos α, cos xНапример, если прилежащий катет равен 2, а гипотенуза 4, то угол α будет равен 60°, а косинус угла α будет 2/4=0.5
Как видно, если угол будет стремиться к 90°, то катет OA будет стремиться к 0 и косинус угла в таком предельном случае будет равен 0: OA/OB = 0/OB = 0.
И точно также если угол будет стремиться к 0, то длина прилежащего катета будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы и косинус такого угла в предельном случае будет равен 1: OA/OB = OB/OB = 1.
Косинус произвольного угла
Косинус угла в прямоугольном треугольнике, это косинус острого угла, частный случай косинуса произвольного угла
Косинус произвольного угла (острого, прямого, тупого, развернутого, вогнутого, полного) - абсцисса точки (горизонтальная координата x), полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол против часовой стрелки на единичной окружности.
Какая связь косинуса произвольного угла и косинуса в прямоугольном треугольнике? Радиус OB, его проекция OA на ось x и отрезок AB, соединяющий радиус и проекцию образуют такой прямоугольный треугольник. Радиус - гипотенуза, его проекция OB - прилежащий катет, отрезок AB - противолежащий катет. Как видно, отрезок OB это проекция радиуса на ось x. И косинусом угла будет отношении длины отрезка OB к гипотенузе. Если рассматривать окружность с радиусом 1, то гипотенуза равна 1 и косинус угла равен длине отрезка OB или абсциссе точки на окружности, ее координате по оси x.
Из этого следует что:
1. Значения косинуса углов от -90° до 90° (или от 270° до 360° и от 0° до 90°) положительные в отрезке [0, 1]
1. Значения косинуса углов от -90° до 90° (или от 270° до 360° и от 0° до 90°) положительные в отрезке [0, 1]
2. Значения косинуса углов от 90° до 270° отрицательные в отрезке [-1, 0]
3. И, суммируя, вся область значений [-1; 1]
4. Значения углов от 0° до 180° зеркально повторяют значения углов от 180° до 360°
5. Оcь косинусов - горизонтальная ось, ось абсцисс, ось x
Значения косинуса некоторых углов.
где N номер пальца начиная от большого.
Мнемоническое правило:
`cos α = sqrt(N)/2, `
| Номер пальца | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Угол в градусах | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° |
| Угол в радианах | `pi/2` | `pi/3` | `pi/4` | `pi/6` | 0 |
| Значение | 0 | `1/2` | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | 1 |
Уравнение
Уравнение cos x = a означает что нужно найти такие углы x, косинус которых будет равен a. Например уравнение
`cos x = 1`
имеет решения `x=2pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -4pi, -2pi, 0, 2pi, 4pi ...`
А уравнение
`cos x = 0.5`
имеет решения `x=(-1)^(k+1)*pi/6+pi/2+pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(5pi)/3, -pi/3, pi/3, (5pi)/3, (7pi)/3, (11pi)/3 ...`
Свойства
Сравнить свойства
Функция
`y = cos x`
Функция косинуса обратно пропорциональна функции секанса.
Область определения
`D(sin x) = R`
Область определения косинуса - вся числовая ось.
Область значений
`E(sin x) = [-1, 1]`
Область значений косинуса - промежуток от -1 до 1. Так происходит, потому что косинус - отношение катета к гипотенузе, а катет в треугольнике всегда меньше, либо, в предельном случае, равен гипотенузе.
Четность
`четная`
При переходе значения угла через 0, функция косинуса этого угла не меняет свой знак. Функция симметрична относительно оси ординат (оси y).
Периодичность
`T = 2pi`
Траектория функции косинуса начинает повторяться только по прохождении полного круга.
Нули
`cos x = 0, x=pi/2+pin, n in Z`
Функция косинуса имеет в значении нули в точках между I и II четвертями и между III и IV четвертями круга.
Интервалы знакопостоянства
`cos x > 0, x in (-pi/2 + 2pin, pi/2 + 2pin), n in Z`
`cos x < 0, x in (pi/2 + 2pin, (3pi)/2 + 2pin), n in Z`
Функция косинуса отрицательна во II и III четвертях и положительна в I и IV четвертях круга.
Интервалы монотонности
`uarruarruarr x in [-pi + 2pin, 2pin], n in Z`
`darrdarrdarr x in [2pin, pi + 2pin], n in Z`
Функция косинуса возрастает в III и IV четвертях, а убывает во I и II четвертях круга.
Экстремумы
`y_min = -1, x = pi+2pin, n in Z`
`y_max = 1, x = 2pin, n in Z`
Функция косинуса имеет локальные минимумы, равные -1, между II и III четвертями и локальные максимумы, равные 1, между I и IV четвертями круга.
Точки перегиба
`y=0, x = pi/2 + pin, n in Z`
Функция косинуса имеет точки перегиба между I и II четвертями и между III и IV четвертями круга со значением 0.
Формулы
`cos alpha = sin(alpha + pi/2)`
`cos alpha = +- sqrt(1 - sin^2alpha)`
`cos alpha = sin alpha * text(cot α)`
`cos alpha = sin alpha / text(tan α)`
`cos alpha = cos(-alpha)`
`(cos alpha)^' =- sin alpha`
`int cos (alpha)dalpha = sin alpha + C`