Косеканс
Косеканс угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике OAB OA и AB катеты, OB – гипотенуза.Косеканс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению гипотенузы OB к
Обозначения: csc, csc α, csc x
Косеканс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению гипотенузы OB к противолежащему катету AB.
Обозначения: csc, csc α, csc xНапример, если противолежащий катет равен 2, а гипотенуза 4, то угол α будет равен 30°, а косеканс угла α будет 2/4=0.5
Как видно, если угол будет стремиться к 0, то и катет AB будет стремиться к 0 и косеканс угла в таком предельном случае будет стремиться к бесконечности и в итоге будет не определен: OB/AB = OB/0 = X (±∞).
И точно также если угол будет стремиться к 90 градусам, то длина противолежащего катета будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы и косеканс такого угла в предельном случае будет равен 1: OB/AB = OB/OB = 1.
Косеканс произвольного угла
Косеканс угла в прямоугольном треугольнике, это косеканс острого угла, частный случай косеканса произвольного угла
Проведем параллельно оси абсцисс дополнительную горизонтальную ось через точку (0; 1) - ось котангенсов. А через центр коордиант, параллельно радиусу - ось косекансов. Ось косекансов динамическая, вращается вместе с радиусом (гипотенузой) при изменении угла. Положительное направление оси косекансов сонаправлено с радиусом. Косеканс произвольного угла (острого, прямого, тупого, развернутого, вогнутого, полного) - длина отрезка с началом в центре координат (в центре окружности) - в нуле оси косекансов, а окончанием в точке пересечения оси косекансов и оси котангенсов.
Какая связь косеканса произвольного угла и косеканса в прямоугольном треугольнике? Радиус OB, его проекция OA на ось x и отрезок AB, соединяющий радиус и проекцию образуют такой прямоугольный треугольник. Треугольник OA''B'' подобный треугольникуу OAB, значит косеканс угла также равен отношению OB'' к OA''. OA'' - это радиус окружности и равен 1, значит секанс угла равен OB'' - отрезку с началом в центре координат и окончанием в точке пересечения продолжения радиуса (оси косекансов) и оси котангенсов.
Из этого следует что:
1. Значения косеканса углов от 0° до 180° положительные в отрезке [1, ∞]
1. Значения косеканса углов от 0° до 180° положительные в отрезке [1, ∞]
2. Значения косеканса углов от 180° до 360° отрицательные в отрезке [-∞, -1]
3. И, суммируя, вся область значений [-∞; -1]⋃[1; ∞]
4. Значения углов от -90° до 90° зеркально повторяют значения углов от 90° до 180°
Значения косеканса некоторых углов.
где N номер пальца начиная от мизинца. Исключение - мизинец (0°), для которого значение не определено
Мнемоническое правило:
`csc α = 2/sqrt(N), `
| Номер пальца | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Угол в градусах | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| Угол в радианах | 0 | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` |
| Значение | ind | `2` | `sqrt(2)` | `(2sqrt(3))/3` | 1 |
Уравнение
Уравнение cscx = a означает что нужно найти такие углы x, косеканс которых будет равен a. Например уравнение
`text(csc) x = 1`
имеет решения `x=pi/2+2pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(7pi)/2, -(3pi)/2, pi/2, (5pi)/2, (9pi)/2 ...`
А уравнение
`text(csc) x = 2`
имеет решения `x=(-1)^k*pi/6+pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(11pi)/6, -(7pi)/6, pi/6, (5pi)/6, (13pi)/6, (17pi)/6 ...`
Свойства
Сравнить свойства
Функция
`y = text(csc) x`
Функция косеканса обратно пропорциональна функции синуса.
Область определения
`D(text(csc) x) = R - {pin, (n in Z)}`
Область определения косеканса - вся числовая ось, за исключением точек, в которых синус равен нулю (и получается неопределенность вида 1/0), т.е. кроме точек х = πn, n – любое целое число. На круге это границы между I и IV четвертями и между II и III четвертями.
Область значений
`E(text(csc) x) = [-infty, -1] uu [1, infty]`
Область значений косеканса - вся числовая ось, за исключением интервала от -1 до 1. Косеканс просто не может стать по модулю меньше 1, т. к. обратно пропорционален синусу, который не может быть по модулю больше 1.
Четность
`нечетная`
Так же как и синус, косеканс - нечетная функция. При переходе значения угла через 0, она также меняет свой знак. Функция симметрична относительно центра координат.
Периодичность
`T = 2pi`
Траектория функции косеканса начинает повторяться только по прохождении полного круга.
Нули
`нет`
Исходя из области значений и графика видно что функция косеканса не имеет значений в промежутке между -1 и 1 и не пересекает горизонтальную ось x.
Интервалы знакопостоянства
`text(csc) x < 0,`
`x in (-pi+2pin, 2pin), n in Z`
`text(csc) x > 0,`
`x in (2pin, pi + 2pin), n in Z`
Функция косеканса отрицательна в III и IV четвертях и положительна в I и II четвертях круга.
Интервалы монотонности
`uarruarruarr x in (-pi+2pin, -pi/2 + 2pin]uu`
`uu[pi/2+2pin, pi+2pin), n in Z`
`darrdarrdarr x in [-pi/2+2pin, 2pin)uu`
`uu(2pin, pi/2+2pin], n in Z`
Функция косеканса убывает в I и IV четвертях, а возрастает во II и III четвертях круга.
Экстремумы
`y_min = 1, x = pi/2+2pin, n in Z`
`y_max = -1, x = -pi/2+2pin, n in Z`
Функция косеканса имеет локальные минимумы, равные 1 между I и II четвертями и локальные максимумы, равные -1 между III и IV четвертями круга.
Точки перегиба
`нет`
Нигде нельзя провести касательную к функции косеканса так, чтобы ее локальные окрестности оказались по разную сторону от этой касательной.
Формулы
`text(csc) alpha = 1/sin alpha`
`text(csc) alpha = (cot alpha)/cos alpha`
`text(csc) alpha = -sec(alpha+pi/2) = sec(alpha-pi/2)`
`-text(csc) alpha = text(csc)(-alpha)`
`(text(csc) alpha)^' = - cos alpha/sin^2 alpha`
`int (text(csc) alpha)dalpha = -ln |tan(alpha/2)| + C`