Синус
Синус угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике OAB OA и AB катеты, OB – гипотенуза.Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению
Обозначения: sin, sin α, sin x
Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета AB к гипотенузе OB.
Обозначения: sin, sin α, sin xНапример, если противолежащий катет равен 2, а гипотенуза 4, то угол α будет равен 30°, а синус угла α будет 2/4=0.5
Как видно, если угол будет стремиться к 0, то и катет AB будет стремиться к 0 и синус угла в таком предельном случае будет равен 0: AB/OB = 0/OB = 0.
И точно также если угол будет стремиться к 90 градусам, то длина противолежащего катета будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы и синус такого угла в предельном случае будет равен 1: AB/OB = OB/OB = 1.
Синус произвольного угла
Синус угла в прямоугольном треугольнике, это синус острого угла, частный случай синуса произвольного угла
Синус произвольного угла (острого, прямого, тупого, развернутого, вогнутого, полного) - ордината точки (вертикальная координата y), полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол против часовой стрелки на единичной окружности.
Какая связь синуса произвольного угла и синуса в прямоугольном треугольнике? Радиус OB, его проекция OA на ось x и отрезок AB, соединяющий радиус и проекцию образуют такой прямоугольный треугольник. Радиус - гипотенуза, его проекция OB - прилежащий катет, отрезок AB - противолежащий катет. Как видно, отрезок AB равен проекции радиуса на ось y. И синусом угла будет отношение длины отрезка AB к гипотенузе. Если рассматривать окружность с радиусом 1, то гипотенуза равна 1 и синус угла равен длине отрезка AB или ординате точки на окружности, ее координате по оси y.
Из этого следует что:
1. Значения синуса углов от 0° до 180° положительные в отрезке [0, 1]
1. Значения синуса углов от 0° до 180° положительные в отрезке [0, 1]
2. Значения синуса углов от 180° до 360° отрицательные в отрезке [-1, 0]
3. И, суммируя, вся область значений [-1; 1]
4. Значения углов от 90° до 180° зеркально повторяют значения углов от 0° до 90°
5. Значения углов от 180° до 270° зеркально повторяют значения углов от 270° до 360°
6. Оcь синусов - вертикальная ось, ось ординат, ось y
Значения синуса некоторых углов.
где N номер пальца начиная от мизинца.
Мнемоническое правило:
`sin α = sqrt(N)/2, `
| Номер пальца | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Угол в градусах | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| Угол в радианах | 0 | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` |
| Значение | 0 | `1/2` | `sqrt(2)/2` | `sqrt(3)/2` | 1 |
Уравнение
Уравнение sin x = a означает что нужно найти такие углы x, синус которых будет равен a. Например уравнение
`sin x = 1`
имеет решения `x=pi/2+2pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(7pi)/2, -(3pi)/2, pi/2, (5pi)/2, (9pi)/2 ...`
А уравнение
`sin x = 0.5`
имеет решения `x=(-1)^k*pi/6+pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(11pi)/6, -(7pi)/6, pi/6, (5pi)/6, (13pi)/6, (17pi)/6 ...`
Свойства
Сравнить свойства
Функция
`y = sin x`
Функция синуса обратно пропорциональна функции косеканса.
Область определения
`D(sin x) = R`
Область определения синуса - вся числовая ось.
Область значений
`E(sin x) = [-1, 1]`
Область значений синуса - промежуток от -1 до 1. Так происходит, потому что синус - отношение катета к гипотенузе, а катет в треугольнике всегда меньше, либо, в предельном случае, равен гипотенузе.
Четность
`нечетная`
При переходе значения угла через 0, функция синуса этого угла также меняет свой знак. Функция симметрична относительно центра координат.
Периодичность
`T = 2pi`
Траектория функции синуса начинает повторяться только по прохождении полного круга.
Нули
`sin x = 0, x=pin, n in Z`
Функция синуса имеет в значении нули в точках между I и IV четвертями и между II и III четвертями круга.
Интервалы знакопостоянства
`sin x < 0, x in (2pin, pi + 2pin), n in Z`
`sin x > 0, x in (-pi + 2pin, 2pin), n in Z`
Функция синуса отрицательна в III и IV четвертях и положительна в I и II четвертях круга.
Интервалы монотонности
`uarruarruarr x in [-pi/2 + 2pin, pi/2 + 2pin], n in Z`
`darrdarrdarr x in [pi/2 + 2pin, (3pi)/2 + 2pin], n in Z`
Функция синуса возрастает в I и IV четвертях, а убывает во II и III четвертях круга.
Экстремумы
`y_min = -1, x = -pi/2+2pin, n in Z`
`y_max = 1, x = pi/2+2pin, n in Z`
Функция синуса имеет локальные минимумы, равные -1 между III и IV четвертями и локальные максимумы, равные 1 между I и II четвертями круга.
Точки перегиба
`y=0, x = pin, n in Z`
Функция синуса имеет точки перегиба между II и III четвертями и между I и IV четвертями круга со значением 0.
Формулы
`sin alpha = cos(alpha - pi/2)`
`sin alpha = +- sqrt(1 - cos^2alpha)`
`sin alpha = cos alpha * text(tan α)`
`sin alpha = cos alpha / text(cot α)`
`sin alpha = - sin(-alpha)`
`(sin alpha)^' =cos alpha`
`int sin (alpha)dalpha = -cos alpha + C`
`alpha*cos alpha < sin alpha < alpha, 0< alpha< 1`