Котангенс
Котангенс угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике OAB OA и AB катеты, OB – гипотенуза.Котангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению
Обозначения: cot, cot α, cot x
Котангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета OA к противолежащему катету AB .
Обозначения: cot, cot α, cot xНапример, если прилежащий катет равен 1, и противолежащий катет также равен 1, то угол α будет равен 45°, а котангенс угла α будет 1 / 1 = 1
Как видно, если угол будет стремиться к 0, то длина прилежащего катета OA будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы, длина противолежащего катета AB будет стремиться к 0 и котангенс угла в таком предельном случае будет стремиться к бесконечности и в итоге будет не определен: OA/AB = OA/0 = X (±∞).
И точно также если угол будет стремиться к 90 градусам, то длина прилежащего катета OA будет стремиться к 0, длина противолежащего катета AB будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы и котангенс угла в таком предельном случае будет стремиться к 0: OA/AB = 0/AB = 0.
Котангенс произвольного угла
Котангенс угла в прямоугольном треугольнике, это котангенс острого угла, частный случай котангенса произвольного угла
Проведем параллельно оси абсцисс дополнительную горизонтальную ось через точку (0; 1) - ось котангенсов. Котангенс произвольного угла (острого, прямого, тупого, развернутого, вогнутого, полного) - абсцисса точки (горизонтальная координата x) на оси котангенсов, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол против часовой стрелки на единичной окружности и продолжением отрезка радиуса до пересечения с осью котангенсов.
Какая связь котангенса произвольного угла и котангенса в прямоугольном треугольнике? Котангенс угла в прямоугольном треугольнике OAB равен отношению прилежащего катета OA к противолежащему катету AB. Треугольники OAB и OA''B'' являются подобными, а значит котангенс угла также равен отношению A''B'' к OA''. OA'' - это радиус окружности и равен 1. Следовательно котангенс угла равен A''B'' или абсциссе точки пересечения продолжения радиуса и оси котангенсов.
Из этого следует что:
1. Значения котангенса углов от 0° до 90° и от 180° до 270° положительные в отрезке [0, +∞]
1. Значения котангенса углов от 0° до 90° и от 180° до 270° положительные в отрезке [0, +∞]
2. Значения котангенс углов от 90° до 180° и от 270° до 360° отрицательные в отрезке [-∞, 0]
3. И, суммируя, вся область значений [-∞; ∞]
4. Значения для углов от 0° и 180° не определены
5. Значения углов от 0° до 180° центрально-симметрично повторяют значения углов от 90° до 270°
Значения котангенса некоторых углов.
где N номер пальца начиная от большого. Исключение - мизинец (0°), для которого значение не определено
Мнемоническое правило:
`cot α = sqrt(3)^N/3, `
| Номер пальца | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Угол в градусах | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° |
| Угол в радианах | `pi/2` | `pi/3` | `pi/4` | `pi/6` | 0 |
| Значение | 0 | `sqrt(3)/3` | `1` | `sqrt(3)` | ind |
Уравнение
Уравнение cotx = a означает что нужно найти такие углы x, котангенс которых будет равен a. Например уравнение
`cot x = 1`
имеет решения `x=pi/4+pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(7pi)/4, -(3pi)/4, (pi)/4, (5pi)/4, (9pi)/4, ...`
А уравнение
`cot x = 0`
имеет решения `x=pi/2 + pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(3pi)/2, -pi/2, pi/2, (3pi)/2, (5pi)/2, ...`
Свойства
Сравнить свойства
Функция
`y = cot x`
Функция котангенса обратно пропорциональна функции тангенса.
Область определения
`D(cot x) = R - {pin (n in Z)}`
Область определения котангенса - вся числовая ось, за исключением точек, в которых противолежащий катет (или синус угла) равен нулю и получается неопределенность вида 1/0. На круге это границы между I и IV четвертями и между II и III четвертями.
Область значений
`E(cot x) = R`
Область значений котангенса - вся числовая ось.
Четность
`нечетная`
При переходе значения угла через 0, функция котангенса этого угла также меняет свой знак. Функция симметрична относительно центра координат.
Периодичность
`T = pi`
Траектория функции котангенса повторяется каждые полкруга.
Нули
`cot x = 0, x=pi/2 + pin, n in Z`
Функция котангенса имеет в значении нули в точках между I и II четвертями и между III и IV четвертями круга.
Интервалы знакопостоянства
`cot x > 0, x in (pin, pi/2 + pin), n in Z`
`cot x < 0, x in (-pi/2 + pin, pin), n in Z`
Функция котангенса отрицательна во II и IV четвертях и положительна в I и III четвертях круга.
Интервалы монотонности
`darrdarrdarr x in D`
Функция котангенса убывает на всей области своего определения. То есть всегда убывает.
Экстремумы
`нет`
Функция котангенса не имеет минимумов и максимумов, так как всегда убывает.
Точки перегиба
`y=0, x = pi/2 + pin, n in Z`
Функция котангенса имеет точки перегиба между I и II четвертями и между III и IV четвертями круга со значением 0.
Формулы
`cot alpha = cos alpha / sin alpha`
`cot alpha = 1/(tan alpha)`
`cot alpha = - tan(alpha + pi/2) = - tan(alpha - pi/2)`
`cot alpha = sqrt(1/sin^2alpha - 1)`
`-cot alpha = cot(-alpha)`
`(cot alpha)^' =-1/sin^2 alpha`
`int cot(alpha)dalpha = -ln |sin alpha| + C`