Тангенс
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике OAB OA и AB катеты, OB – гипотенуза.Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению
Обозначения: tan, tan α, tan x
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему катету OA.
Обозначения: tan, tan α, tan xНапример, если противолежащий катет равен 1, и прилежащий катет также равен 1, то угол α будет равен 45°, а тангенс угла α будет 1 / 1 = 1
Как видно, если угол будет стремиться к 0, то длина противолежащего катета AB будет стремиться к 0, длина прилежащего катета OA будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы и тангенс угла в таком предельном случае будет равен 0: AB/OA = 0/OA = 0.
И точно также если угол будет стремиться к 90 градусам, то длина противолежащего катета AB будет стремиться сравняться с длиной гипотенузы, длина прилежащего катета OA будет стремиться к 0 и тангенс угла в таком предельном случае будет стремиться к бесконечности и в итоге будет не определен: AB/OA = AB/0 = X (±∞).
Тангенс произвольного угла
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике, это тангенс острого угла, частный случай тангенса произвольного угла
Проведем параллельно оси ординат дополнительную вертикальную ось через точку (1; 0) - ось тангесов. Тангенс произвольного угла (острого, прямого, тупого, развернутого, вогнутого, полного) - ордината точки (вертикальная координата y) на оси тангенсов, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол против часовой стрелки на единичной окружности и продолжением отрезка радиуса до пересечения с осью тангенсов.
Какая связь тангенса произвольного угла и тангенса в прямоугольном треугольнике? Тангенс угла в прямоугольном треугольнике OAB равен отношению противолежащего катета AB к прилежащему катету OA. Треугольники OAB и OA'B' являются подобными, а значит тангенс угла также равен отношению A'B' к OA'. OA' - это радиус окружности и равен 1. Следовательно тангенс угла равен A'B' или ординате точки пересечения продолжения радиуса и оси тангенсов.
Из этого следует что:
1. Значения тангенса углов от 0° до 90° и от 180° до 270° положительные в отрезке [0, +∞]
1. Значения тангенса углов от 0° до 90° и от 180° до 270° положительные в отрезке [0, +∞]
2. Значения тангенса углов от 90° до 180° и от 270° до 360° отрицательные в отрезке [-∞, 0]
3. И, суммируя, вся область значений [-∞; ∞]
4. Значения для углов от 90° и 270° не определены
5. Значения углов от -90° до 90° центрально-симметрично повторяют значения углов от 90° до 270°
Значения тангенса некоторых углов.
где N номер пальца начиная от мизинца. Исключение - большой палец (90°), для которого значение не определено
Мнемоническое правило:
`tan α = sqrt(3)^N/3, `
| Номер пальца | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Угол в градусах | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| Угол в радианах | 0 | `pi/6` | `pi/4` | `pi/3` | `pi/2` |
| Значение | 0 | `sqrt(3)/3` | `1` | `sqrt(3)` | ind |
Уравнение
Уравнение tanx = a означает что нужно найти такие углы x, тангенс которых будет равен a. Например уравнение
`tan x = 1`
имеет решения `x=pi/4+pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -(7pi)/4, -(3pi)/4, (pi)/4, (5pi)/4, (9pi)/4, ...`
А уравнение
`tan x = 0`
имеет решения `x=pik, k∈Z`
То есть x это бесконечный ряд значений `... -2pi, -pi, 0, pi, 2pi, 3pi, ...`
Свойства
Сравнить свойства
Функция
`y = tan x`
Функция тангенса обратно пропорциональна функции котангенса.
Область определения
`D(tan x) = R - {pi/2+pin (n in Z)}`
Область определения тангенса - вся числовая ось, за исключением точек, в которых прилежащий катет (или косинус угла) равен нулю и получается неопределенность вида 1/0. На круге это границы между I и II четвертями и между III и IV четвертями.
Область значений
`E(tan x) = R`
Область значений тангенса - вся числовая ось.
Четность
`нечетная`
При переходе значения угла через 0, функция тангенса этого угла также меняет свой знак. Функция симметрична относительно центра координат.
Периодичность
`T = pi`
Траектория функции тангенса повторяется каждые полкруга.
Нули
`tan x = 0, x=pin, n in Z`
Функция тангенса имеет в значении нули в точках между I и IV четвертями и между II и III четвертями круга.
Интервалы знакопостоянства
`tan x > 0, x in (pin, pi/2 + pin), n in Z`
`tan x < 0, x in (-pi/2 + pin, pin), n in Z`
Функция тангенса отрицательна во II и IV четвертях и положительна в I и III четвертях круга.
Интервалы монотонности
`uarruarruarr x in D`
Функция тангенса возрастает на всей области своего определения. То есть всегда возрастает.
Экстремумы
`нет`
Функция тангенса не имеет минимумов и максимумов, так как всегда возрастает.
Точки перегиба
`y=0, x = pin, n in Z`
Функция тангенса имеет точки перегиба между II и III четвертями и между I и IV четвертями круга со значением 0.
Формулы
`tan alpha = sin alpha / cos alpha`
`tan alpha = 1/text(cot α)`
`tan alpha = - cot(alpha + pi/2) = - cot(alpha - pi/2)`
`tan alpha = sqrt(1/cos^2alpha - 1)`
`-tan alpha = tan(-alpha)`
`(tan alpha)^' =1 /cos^2 alpha`
`int tan(alpha) dalpha = -ln |cos alpha| + C`